13639. Квадраты сторон треугольника ABC
пропорциональны числам 1, 2, 3.
а) Докажите, что углы между медианами треугольника ABC
равны углам треугольника ABC
.
б) Докажите, что треугольник, составленный из медиан треугольника ABC
, подобен треугольнику ABC
.
Решение. Заметим, что из теоремы косинусов следует, что у треугольника ABC
нет тупых углов. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, а медианы, проведённые к этим сторонам, равны m_{a}
, m_{b}
и m_{c}
соответственно.
б) Пусть a^{2}:b^{2}:c^{2}=1:2:3
. Тогда для положительного числа t
верны равенства a^{2}=t
, b^{2}=2t
, c^{2}=3t^{2}
. По формуле для квадрата медианы (см. задачу 4014)
4m_{a}^{2}=2b^{2}+2c^{2}-a^{2}=2\cdot2t+2\cdot3t-t=9t,
4m_{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}=2\cdot t+2\cdot3t-2t=6t,
4m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}=2\cdot t+2\cdot2t-3t=3t.
Значит,
m_{c}^{2}:m_{b}^{2}:m_{a}^{2}=1:2:3=a^{2}:b^{2}:c^{2}~\Rightarrow~m_{c}:m_{b}:m_{a}=a:b:c.
Отсюда следует утверждение пункта б).
а) Пусть A'
, B'
и C'
— середины сторон BC
, AC
и AB
треугольника ABC
, G
— точка пересечения его медиан. На продолжении отрезка GC'
отложим отрезок C'H=GC'
. Тогда AGBH
— параллелограмм,
AG=\frac{2}{3}m_{a},~AH=BG=\frac{2}{3}m_{b},~GH=\frac{2}{3}m_{c}.
Значит, треугольник ABC
подобен треугольнику, составленному из медиан треугольника ABC
. Тогда из пункта б) получаем, что треугольник ABC
подобен треугольнику AGH
. Следовательно,
\angle GAH=\angle BAC=\alpha,~\angle HGA=\angle CBA=\beta,~\angle AHG=\angle ACB=\gamma.
Утверждение пункта а) доказано.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 3, задача 3, с. 143
Источник: Испанские математические олимпиады. — 1998