1366. Гипотенуза прямоугольного треугольника служит стороной квадрата, расположенного вне треугольника. Найдите расстояние между вершиной прямого угла треугольника и центром квадрата, если катеты треугольника равны a
и b
.
Ответ. \frac{a+b}{\sqrt{2}}
.
Указание. Постройте на остальных сторонах квадрата как на гипотенузах три прямоугольных треугольника, равных данному.
Решение. Первый способ. Рассмотрим квадрат со стороной a+b
и расположим по его углам четыре треугольника, равных данному, так, чтобы их гипотенузы образовывали квадрат (рис. 1). Если вершины одного параллелограмма лежат (по одной) на сторонах другого параллелограмма, то центры параллелограммов совпадают (см. задачу 1057), поэтому искомый отрезок равен половине диагонали большего квадрата, т. е. \frac{(a+b)\sqrt{2}}{2}
.
Второй способ. Пусть O
— центр квадрата, построенного на гипотенузе AB
(рис. 2). Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому \angle AOB=90^{\circ}
. Из точек C
и O
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы ACO
и BCO
опираются на равные хорды AO
и BO
, поэтому они равны. Значит, CO
— биссектриса прямого угла BAC
и \angle ACO=\angle BCO=45^{\circ}
.
Обозначим CO=x
. Пусть a\ne b
. Выражая по теореме косинусов равные отрезки AO
и BO
из треугольников ACO
и BCO
, получим уравнение x^{2}+a^{2}-ax\sqrt{2}=x^{2}+b^{2}-bx\sqrt{2}
, из которого находим, что CO=x=\frac{a+b}{\sqrt{2}}
.
Если a=b
, то AOBC
— квадрат, поэтому
CO=BC\sqrt{2}=a\sqrt{2}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Источник: Васильев Н. Б. и др. Заочные математические олимпиады. — Л.—М.: Наука, 1981. — № 3-1, с. 45
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 3.20, с. 24