13661. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, в котором AB\lt AC
, точка M
— середина стороны BC
. Прямая MI
пересекает прямые AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно, а касательная к вписанной окружности пересекает стороны AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что
\frac{AP}{BD}+\frac{AQ}{CE}=\frac{PQ}{2MI}.
Решение. Пусть L
и N
— середины отрезков BE
и CD
соответственно. Поскольку M
— середина BC
, то ML\parallel CE
и ML=\frac{1}{2}CE
, а также MN\parallel BD
и MN=\frac{1}{2}BD
.
Обозначим \angle APQ=\theta
, \angle AQP=\varphi
. Тогда из параллельности получаем
\angle NMI=\angle APQ=\theta,~\angle LMI=\angle AQP=\varphi.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника APQ
. По теореме синусов
\sin\varphi=\frac{AP}{2R},~\sin\theta=\frac{AQ}{2R},~\sin(\theta+\varphi)=\sin(180^{\circ}-\theta-\varphi)=\frac{PQ}{2R}.
Четырёхугольник BCED
описан около окружности с центром I
, а L
и N
— середины диагоналей BE
и CD
. По теореме Ньютона (см. задачу 4773) точка I
лежит на прямой LN
.
Поскольку точки D
и E
лежат на отрезках AB
и AC
, причём точки L
и N
лежат на сторонах треугольника T
с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
, а точка I
лежит внутри треугольника T
(см. задачу 10415), то точка I
лежит на отрезке LN
.
Тогда
S_{\triangle LMN}=S_{\triangle LMI}+S_{\triangle NMI},
или
\frac{1}{2}MN\cdot ML\sin(\theta+\varphi)=\frac{1}{2}ML\cdot MI\sin\varphi+\frac{1}{2}MN\cdot MI\sin\theta.
Разделив обе части этого равенства на произведение ML\cdot MI\cdot MN
, получим
\frac{\sin(\theta+\varphi)}{2MI}=\frac{\sin\varphi}{2MN}=\frac{\sin\theta}{2ML},
или
\frac{\frac{PQ}{2R}}{2MI}=\frac{\frac{AP}{2R}}{2MN}=\frac{\frac{AQ}{2R}}{2ML}.
Следовательно (так как 2MN=BD
и 2ML=CE
),
\frac{PQ}{2MI}=\frac{AP}{BD}+\frac{AQ}{CE}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2000, № 8, задача 2494 (1999, с. 506), с. 522