13671. В треугольнике ABC
провели биссектрисы AD
, BE
и CF
. Оказалось, что сумма AF+BD+CE
равна полупериметру треугольника. Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
, p
— полупериметр треугольника, r
— радиус вписанной окружности.
Без ограничения общности считаем, что \alpha\leqslant\beta\leqslant\gamma
.
Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
(т. е. точка пересечения его биссектрис), D'
, E'
и F'
— точки касания окружности со сторонами BC
, AC
и AB
соответственно.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADB=\gamma+\frac{\alpha}{2}=\frac{\gamma}{2}+\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}\geqslant\frac{\gamma}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}=90^{\circ}.
Значит, либо точка D'
совпадает с D
(тогда утверждение доказано), либо угол IDD'
острый, а тогда точка D'
лежит на отрезке CD
. Аналогично, точка F'
лежит на отрезке BF
, а точка E'
— на отрезке CE
. Следовательно,
\angle DID'=90^{\circ}-\angle IDD'=\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}\right)-\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)=\frac{\gamma-\beta}{2}.
Поскольку (см. задачу 219)
AF'+BD'+CE'=(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-2p=p=AF+BD+CE
и
AF\leqslant AF',~BD\leqslant BD',~CE\geqslant CE',
то из полученного равенства следует, что
EE'=FF'+DD',~\mbox{или}~r\tg\frac{\beta-\alpha}{2}+r\tg\frac{\gamma-\beta}{2}=r\tg\frac{\gamma-\alpha}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\tg\frac{\beta-\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma-\beta}{2}=\tg\frac{\gamma-\alpha}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~\tg\frac{\beta-\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma-\beta}{2}=\frac{\tg\frac{\beta-\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma-\beta}{2}}{1-\tg\frac{\beta-\alpha}{2}\cdot\tg\frac{\gamma-\beta}{2}}.
Значит, либо \tg\frac{\beta-\alpha}{2}+\tg\frac{\gamma-\beta}{2}=0
, а тогда \tg\frac{\beta-\alpha}{2}=\tg\frac{\beta-\gamma}{2}
, или \frac{\beta-\alpha}{2}=\frac{\beta-\gamma}{2}
, т. е. \alpha=\gamma
, либо \tg\frac{\beta-\alpha}{2}\tg\frac{\gamma-\beta}{2}=0
, откуда \alpha=\beta
или \gamma=\beta
.
Следовательно, в любом случае треугольник равнобедренный.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 2, задача 2515 (2000, с. 114), с. 142