13675. Биссектриса BE
треугольника ABC
проходит через середину P
медианы AD
, а луч CP
пересекает сторону AB
в точке F
. Докажите, что CF\gt BE
.
Решение. Треугольник ABD
равнобедренный (AB=AD
), так как его биссектриса BP
является медианой. Значит, угол BDP
острый как угол при основании равнобедренного треугольника. В треугольниках CDP
и BDP
сторона DP
общая, BD=CD
, а \angle CDP\gt\angle BDP
, поэтому (см. задачу 3606) CP\gt BP
.
Отрезки AD
, BE
и CF
пересекаются в одной точке, поэтому по теореме Чевы
\frac{BF}{FA}\cdot\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CD}{DB}=1,
а так как CD=DB
, то \frac{AE}{EC}=\frac{FA}{BF}
. Значит, EF\parallel BC
, поэтому треугольники CBP
и FEP
подобны. Тогда из неравенства CP\gt BP
следует неравенство FP\gt EP
.
Таким образом,
CF=CP+PF\gt BP+PE=BE.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 4, задача 2527 (2000, с. 177), с. 273