13680. Через вершины треугольника проведены касательные к его описанной окружности. Расстояния от произвольной точки окружности до прямых, содержащих стороны треугольника, равны a
, b
и c
, а расстояния до касательных равны x
, y
и z
. Докажите, a^{2}+b^{2}+c^{2}=xy+xz+yz
.
Решение. Пусть l
, m
и n
— касательные к описанной окружности треугольника ABC
, проведённые в точках A
, B
и C
соответственно, расстояния от точки P
, лежащей на окружности, до прямых BC
, CA
и AB
равны a
, b
и c
соответственно, а расстояния от этой точки до прямых l
, m
и n
равны x
, y
и z
соответственно.
Пусть X
, Y
и Z
— проекции точки P
на прямые l
, n
и AC
соответственно. По условию PX=x
, PY=z
и PZ=b
. Тогда
b^{2}=PZ^{2}=PX\cdot PY=xz
(см. задачу 120). Аналогично,
a^{2}=yz,~c^{2}=xy.
Сложив эти три равенства, получим
a^{2}+b^{2}+c^{2}=xy+xz+yz.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 6, задача 3, с. 362
Источник: Молдавские математические олимпиады. — 1996, 10 класс