13681. Дан четырёхугольник ABCD
с прямыми углами при вершинах B
и D
. Окружность с центром D
и радиусом DA
пересекает окружность с центром B
и радиусом BA
в точке Q
, а прямую AC
— в точке P
. Докажите, что PQ\perp AB
.
Решение. Линия центров пересекающихся окружностей — серединный перпендикуляр к их общей хорде (см. задачу 1130), поэтому DB
— биссектриса угла ADQ
. Тогда
\angle APQ=\frac{1}{2}(360^{\circ}-\angle ADQ)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle QDA=180^{\circ}-\angle ADB.
Значит,
\angle CPQ=180^{\circ}-\angle APQ=180^{\circ}-(180^{\circ}-\angle ADB)=\angle ADB,
а так как четырёхугольник ABCD
вписанный (вершины B
и D
лежат на окружности с диаметром AC
), то \angle ADB=\angle ACB
, поэтому \angle CPQ=\angle ACB
. Тогда PQ\parallel BC
, а так как BC\perp AB
, то PQ\perp AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 5, задача 4372, с. 295