13685. В треугольнике ABC
известно, что \angle A\gt\angle C
, а D
— точка на стороне BC
, для которой \angle BAD=\angle ACB
. Серединные перпендикуляры к отрезкам AD
и DC
пересекаются в точке E
. Докажите, что \angle BAE=90^{\circ}
.
Решение. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ACD
пересекаются в центре E
его описанной окружности. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), прямая AB
— касательная к этой окружности. Следовательно, EA\perp AB
. Что и требовалось доказать.