13686. Три окружности радиусов p
, q
, r
с центрами A
, B
, C
соответственно касаются внешним образом в точках D
, E
, F
. Докажите, что отношение площадей треугольников DEF
и ABC
равно \frac{pqr}{(p+q)(q+r)(r+p)}
.
Решение. Пусть окружности с центрами B
и C
касаются в точке D
, окружности с центрами A
и C
— в точке E
, окружности с центрами A
и B
— в точке F
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle AFE}=\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}S_{\triangle ABC}=\frac{p}{p+q}\cdot\frac{p}{p+r}S_{\triangle ABC},
S_{\triangle BDF}=\frac{BF}{BA}\cdot\frac{BD}{BC}S_{\triangle ABC}=\frac{q}{p+q}\cdot\frac{q}{q+r}S_{\triangle ABC}.
S_{\triangle CDE}=\frac{CE}{CA}\cdot\frac{CD}{CB}S_{\triangle ABC}=\frac{r}{r+p}\cdot\frac{r}{r+q}S_{\triangle ABC},
Значит,
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AFE}-S_{\triangle BDF}-S_{\triangle CDE}=
=S_{\triangle ABC}\left(1-\frac{p^{2}}{(p+q)(p+r)}-\frac{q^{2}}{(p+q)(q+r)}-\frac{r^{2}}{(q+r)(p+r)}\right)=
=\frac{(p+q)(q+r)(p+r)-p^{2}(q+r)-q^{2}(p+r)-r^{2}(p+q)}{\frac{pqr}{(p+q)(q+r)(r+p)}S_{\triangle ABC}}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{pqr}{(p+q)(q+r)(r+p)}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2001, № 7, задача 4, с. 433
Источник: Математические олимпиады ЮАР. — 1995