13698. Докажите, что для любого треугольника верно неравенство pR\geqslant2S
, где p
— полупериметр треугольника, R
— радиус описанной окружности, а S
— площадь треугольника.
Решение. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
. Поскольку R=\frac{abc}{4S}
(см. задачу 4259), то неравенство pR\geqslant2S
равносильно неравенству p\cdot abc\geqslant8S^{2}
, или (см. задачу 2730)
abc\geqslant(a+b-a)(a+c-b)(b+c-a).
Обозначим
p-a=\frac{a+b-a}{2}=x,~p-b=\frac{a+c-b}{2}=y,~p-c=\frac{a+b-c}{2}=z.
Тогда нужно доказать, что
(y+z)(x+z)(x+y)\geqslant8xyz.
Перемножив очевидные неравенства
y+z\geqslant\sqrt{yz},~x+z\geqslant\sqrt{xz},~x+y\geqslant\sqrt{xy},
получим требуемое.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда x=y=z
, или a=b=c
, т. е. для равностороннего треугольника.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2002, № 4, задача 5, с. 205
Источник: Грузинские математические олимпиады. — 1997