13699. Точка O
— центр описанной окружности радиуса R
остроугольного треугольника ABC
. Прямая AO
вторично пересекает описанную окружность треугольника BOC
в точке D
, прямая BO
вторично пересекает описанную окружность треугольника AOC
в точке E
, прямая CO
вторично пересекает описанную окружность треугольника AOB
в точке F
. Докажите, что OD\cdot OE\cdot OF\geqslant8R^{3}
.
Решение. Заметим, что
\angle CBE=\angle CBO=\angle BCO=\angle ODC=\angle ADC,
поэтому треугольник BCE
подобен треугольнику DCA
по двум углам. Аналогично, треугольник CAF
подобен треугольнику EAB
, а треугольник ABD
— треугольнику FBC
. Тогда
EC:CB:BE=AC:CD:DA,~FA:AC:CF=BA:AE:EB,~
DB:BA:AD=CB:BF:FC,
откуда
\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{CF},~\frac{CD}{CB}=\frac{AD}{BE}.
Применив к вписанному четырёхугольнику OBDC
теорему Птолемея, получим
OD\cdot BC=OC\cdot BD+OB\cdot CD~\Rightarrow~OD=OC\cdot\frac{BD}{BC}+OB\cdot\frac{CD}{BC}=
=R\left(\frac{BD}{BC}+\frac{CD}{BC}\right)=R\left(\frac{AD}{CF}+\frac{AD}{BE}\right).
Аналогично,
OE=R\left(\frac{BF}{CF}+\frac{BE}{AD}\right),~OF=R\left(\frac{CF}{BE}+\frac{CF}{AD}\right).
Обозначим AD=x
, CF=y
, BE=z
. Тогда
OD\cdot OE\cdot OF=R\left(\frac{AD}{CF}+\frac{AD}{BE}\right)\cdot R\left(\frac{BE}{CF}+\frac{BE}{AD}\right)\cdot R\left(\frac{CF}{BE}+\frac{CF}{AD}\right)=
=R^{3}\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)\cdot\left(\frac{z}{y}+\frac{z}{x}\right)\cdot\left(\frac{y}{x}+\frac{y}{x}\right)\geqslant
\geqslant R^{3}\cdot2\sqrt{\frac{x^{2}}{yz}}\cdot2\sqrt{\frac{z^{2}}{xy}}2\sqrt{\frac{y^{2}}{xz}}=R^{3}\cdot\frac{8xyz}{xyz}=8R^{3}.
Что и требовалось доказать.