11293. Пусть стороны треугольника равны a
, b
, c
, полупериметр равен p
, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно. Докажите, что:
а) abc=4prR
;
б) ab+bc+ac=r^{2}+p^{2}+4rR
.
Решение. а) Пусть площадь данного треугольника равна S
. Тогда S=\frac{abc}{4R}
(см. задачу 4259) и S=pr
(см. задачу 452). Следовательно,
abc=4RS=4R\cdot pr=4prR.
б) Применив формулу Герона (см. задачу 2730) и учитывая доказанное равенство abc=4prR
, получим, что
pr^{2}=p\cdot\frac{S^{2}}{p^{2}}=\frac{S^{2}}{p}=(p-a)(p-b)(p-c)=
=p^{3}-p^{2}(a+b+c)+p(ab+bc+ac)-abc=
=p^{3}-2p^{3}+p(ab+bc+ac)-abc=-p^{3}+p(ab+bc+ac)-4prR.
Разделив обе части доказанного равенства
pr^{2}=-p^{3}+p(ab+bc+ac)-4prR
на p
, получим, что
r^{2}=-p^{2}+ab+bc+ac-4rR.
Следовательно,
ab+bc+ac=r^{2}+p^{2}+4rR.
Примечание. 1. Поскольку
(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ac),
из доказанного равенства следует, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}=2p^{2}-2r^{2}-8rR.
2. См. также статью В.Дроздова «Неравенства для элементов треугольника», Квант, 2018, N9, с.40.