13701. В остроугольном треугольнике ABC
(AB\ne AC
) точки H
и G
— ортоцентр и точка пересечения медиан соответственно. Известно, что
\frac{1}{S_{\triangle HAB}}+\frac{1}{S_{\triangle HAC}}=\frac{2}{S_{\triangle HBC}}.
Докажите, что \angle AGH=90^{\circ}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Пусть AH
, BF
и CL
— высоты треугольника, AE
— его медиана.
Поскольку
\angle BHD=90^{\circ}-\angle HAF=90^{\circ}-\angle DAC=\angle BCA=\gamma,
и BD=c\cos\beta
, то
S_{\triangle HBC}=\frac{1}{2}BC\cdot HD=\frac{1}{2}BC\cdot BD\ctg\gamma=
=\frac{1}{2}ac\cos\beta\ctg\gamma=a\cos\beta\cos\gamma\cdot\frac{c}{2\sin\gamma}=aR\cos\beta\cos\gamma.
Аналогично,
S_{\triangle HAB}=cR\cos\alpha\cos\beta,~S_{\triangle HAC}=bR\cos\alpha\cos\gamma.
Следовательно,
\frac{1}{S_{\triangle HAB}}+\frac{1}{S_{\triangle HAC}}=\frac{2}{S_{\triangle HBC}}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{1}{cR\cos\alpha\cos\beta}+\frac{1}{bR\cos\alpha\cos\gamma}=\frac{2}{aR\cos\beta\cos\gamma}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~ab\cos\gamma+ac\cos\beta=2bc\cos\alpha~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~ab\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}+ac\cdot\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2ab}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~b^{2}+c^{2}=2a^{2}.
Поскольку \angle LHA=\angle LBD
, то
AH=\frac{AL}{\sin\beta}=\frac{b\cos\alpha}{\sin\beta},
а так как AD=c\sin\beta
, то
AD\cdot AH=c\sin\beta\cdot\frac{b\cos\alpha}{\sin\beta}=bc\cos\alpha=bc\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=
=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}=\frac{2a^{2}-a^{2}}{2}=\frac{a^{2}}{2}.
С другой стороны (см. задачу 4014),
AE^{2}=\frac{1}{4}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2}),
поэтому
AG\cdot AE=\frac{2}{3}AE\cdot AE=\frac{2}{3}AE^{2}=\frac{1}{6}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})=\frac{1}{6}(4a^{2}-a^{2})=\frac{a^{2}}{2}.
Значит,
AD\cdot AH=AG\cdot AE,~\mbox{или}~\frac{AD}{AE}=\frac{AG}{AH}.
Заметим, что точка G
на лежит на прямой AD
, так как иначе треугольник ABC
равнобедренный (AB=AC
), что противоречит условию задачи. Тогда треугольник AHG
подобен прямоугольному треугольнику AED
. Следовательно,
\angle AGH=\angle ADE=90^{\circ}.