13702. Дана окружность радиуса R
с центром O
и точка P
вне её. Проводятся хорды AB
, параллельные OP
.
а) Докажите, что величина PA^{2}+PB^{2}
постоянна.
б) Найдите хорду AB
, для которой площадь треугольника ABP
максимальна.
Ответ. r\sqrt{2}
.
Решение. а) Опустим перпендикуляр OM
на хорду AB
. Тогда PM
— медиана треугольника APB
, поэтому (см. задачу 4014)
PM^{2}=\frac{1}{4}(2PA^{2}+2PB^{2}-AB^{2})~\Rightarrow~
~\Rightarrow~PA^{2}+PB^{2}=\frac{1}{2}(4PM^{2}+AB^{2})=2PM^{2}+\frac{1}{2}\cdot4AM^{2}=
=2(PM^{2}+AM^{2})=2((OM^{2}+OP^{2})+(OA^{2}-OM^{2}))=
=2(OP^{2}+OA^{2})=2(OP^{2}+r^{2}).
Отсюда следует утверждение а).
б) Из параллельности AB
и OP
следует, что S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABO}
.
Обозначим \angle AOB=\theta
. Тогда
S_{\triangle ABP}=S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\theta=\frac{1}{2}r^{2}\sin\theta\leqslant\frac{1}{2}r^{2},
причём равенство достигается для \theta=90^{\circ}
. При этом, AB=r\sqrt{2}
.