13711. На сторонах AB
и CD
квадрата ABCD
со стороной 2 отмечены точки M
и N
соответственно. Отрезки CM
и BN
пересекаются в точке P
, а отрезки AN
и DM
— в точке Q
. Докажите, что PQ\geqslant1
.
Решение. Докажем более общее утверждение: если ABCD
прямоугольник со сторонами AB=2l
и BC=2w
, то PQ\geqslant l
.
Выберем прямоугольную систему координат xOy
с началом в центре O
прямоугольника ABCD
, направив ось Ox
по лучу OE
, где E
— середина стороны BC
, а ось OY
— по лучу OF
, где F
— середина стороны AB
. Тогда вершины прямоугольника и точки M
и N
имеют координаты
A(-l;w),~B(l;w),~C(l;-w),D(-l;-w),~M(a;w),~N(b;-w),
а уравнения прямых AN
и DM
имеют вид
y-w=-\frac{2w}{b+l}(x+l)~\mbox{и}~y-w=\frac{2w}{a+l}(x-a)
(см. задачу 4205).
Из уравнения
-\frac{2w}{b+l}(x+l)=\frac{2w}{a+l}(x-a)
находим абсциссу точки Q
пересечения прямых AN
и DM
, т. е. x_{Q}=\frac{ab-l^{2}}{a+b+2l}
. Тогда y_{Q}=\frac{w(b-a)}{a+b+2l}
.
Уравнения прямых BN
и MC
имеют вид
y-w=-\frac{2w}{l-b}(x-l)~\mbox{и}~y-w=\frac{2w}{a-l}(x-a)
соответственно, и
x_{P}=\frac{ab-l^{2}}{a+b-2l},~y_{P}=\frac{w(b-a)}{a+b-2l}.
Нужно доказать, что PQ^{2}\geqslant l^{2}
, или
(x_{P}-x_{Q})^{2}+(y_{P}-y_{Q})^{2}\geqslant l^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(ab-l^{2})^{2}\left(\frac{1}{a+b-2l}-\frac{1}{a+b+2l}\right)^{2}+(w^{2}(b-a)^{2}\left(\frac{1}{a+b-2l}-\frac{1}{a+b+2l}\right)^{2}\geqslant l^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{16l^{2}((ab-l^{2})^{2})+w^{2}(b-a)^{2})}{((a+b)^{2}-4l^{2})^{2}}\geqslant l^{2}~\Leftrightarrow~16((ab-l^{2})^{2}+w^{2}(b-a)^{2})\geqslant(4l^{2}-(a+b)^{2})^{2}.
Поскольку |a|\leqslant l
и |b|\leqslant l
, то достаточно доказать, что
4(l^{2}-ab)\geqslant4l^{2}-(a+b)^{2},
это неравенство верно, так как (a+b)^{2}\geqslant4ab
, что равносильно очевидному неравенству (a-b)^{2}\geqslant0
.
Заметим, что равенство достигается, если a=b
.