13719. Через вершины A
и B
выпуклого четырёхугольника ABCD
с непараллельными сторонами AD
и BC
проведены прямые, параллельные BC
и AD
соответственно и пересекающие прямую CD
в точках G
и F
соответственно. Пусть P
и Q
— точки пересечения диагоналей трапеций (или параллелограммов) ABFD
и ABCG
соответственно. Докажите, что PQ\parallel CD
.
Решение. Лемма. Фиксированные R
и S
расположены по одну сторону от фиксированной прямой l
, а точка T
перемещается по прямой l
. Тогда геометрическое место точек X
пересечения диагоналей трапеций (или параллелограммов) RSTU
есть прямая, параллельная l
.
Доказательство. Пусть R'
, S'
и X'
— проекции на прямую l
точек R
, S
и X
соответственно. Тогда треугольник UXX'
подобен треугольнику USS'
, а треугольник TXX'
— треугольнику TRR'
, поэтому
\frac{XX'}{SS'}=\frac{UX}{US},~\frac{XX'}{RR'}=\frac{XT}{RT}.
Кроме того, треугольник RUX
подобен треугольнику TSX
, поэтому \frac{UX}{XS}=\frac{RX}{XT}
. Значит,
\frac{UX}{US}=\frac{UX}{UX+XS}=\frac{RX}{RX+XT}=\frac{RX}{RT}.
Следовательно,
\frac{XX'}{RR'}+\frac{XX'}{SS'}=\frac{UX}{US}+\frac{XT}{RT}=\frac{RX}{RT}+\frac{XT}{RT}=\frac{RT}{RT}=1,
откуда
XX'=\frac{1}{\frac{1}{RR'}+\frac{1}{SS'}},
правая часть равенства — постоянная величина. Значит, искомое ГМТ — прямая, параллельная l
(см. задачу 2398). Лемма доказана.
Возвратимся к нашей задаче. Заменив R
на A
, S
на B
, а прямую l
на CD
, получим, что C
и F
— два возможных положения точки T
. Тогда G
и D
— два возможных положения точки U
, а P
и Q
— два возможных положения точки X
. Из леммы получаем, что PQ\parallel CD
.