13725. Квадрат ABCD
вписан в окружность. Точка M
лежит меньшей дуге AB
. Докажите, что MC\cdot MD\gt3\sqrt{3}MA\cdot MB
.
Решение. Без ограничения общности считаем, что сторона квадрата равна 1.
Обозначим MA=a
, MB=b
, MC=c
, MD=d
. Применив теорему Птолемея к вписанным четырёхугольникам DAMB
и AMBC
получим
AD\cdot MB+AM\cdot BD=AB\cdot MD,~\mbox{или}~b+a\sqrt{2}=d,
AM\cdot BC+MB\cdot AC=MC\cdot AB,~\mbox{или}~a+b\sqrt{2}=c.
Значит,
cd=(a+b\sqrt{2})(b+a\sqrt{2})=a^{2}\sqrt{2}+b^{2}\sqrt{2}+3ab.
Следовательно (см. задачу 3399),
MC\cdot MD=cd\geqslant2\sqrt{a^{2}\sqrt{2}\cdot b^{2}\sqrt{2}}+3ab=(3+2\sqrt{2})ab\gt3ab\sqrt{3}=3\sqrt{3}MA\cdot MB,
так как
3+2\sqrt{2}\gt3\sqrt{3}~\Leftrightarrow~17+12\sqrt{2}\gt27~\Leftrightarrow~12\sqrt{2}\gt10.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2003, № 8, задача 1, с. 502
Источник: Средиземноморская математическая олимпиада. — 1998