13727. Точки M
и N
лежат на боковых сторонах соответственно AD
и BC
трапеции ABCD
, причём прямая MN
параллельна основаниям трапеции. Докажите, что
DC\cdot MA+AB\cdot MD=MN\cdot AD.
Решение. Пусть отрезок MN
пересекает диагонали AC
и BD
трапеции в точках P
и Q
соответственно. Тогда PN=QM
(см. задачу 1536).
Из подобия треугольников MDQ
и ADB
получаем
\frac{QM}{BA}=\frac{DM}{DA}~\Rightarrow~AB\cdot DM=QM\cdot AD=NP\cdot AD.
Аналогично, DC\cdot MA=MP\cdot AD
. Следовательно,
DC\cdot MA+AB\cdot MD=MP\cdot AD+NP\cdot AD=
=(MP+NP)AD=MN\cdot AD.
Что и требовалось доказать.