13729. Точка A
лежит вне окружности \Gamma
. Рассматриваются всевозможные трапеции, вписанные в эту окружность, продолжения боковых сторон которых пересекаются в точке A
. Докажите, что диагонали таких трапеций проходят через фиксированную точку.
Решение. Пусть S
— центр окружности \Gamma
, а KLMN
— трапеция с основаниями KL
и MN
, причём продолжения её боковых сторон KN
и LM
пересекаются в точке A
. Эта трапеция равнобедренная (см. задачу 5003), она симметрична относительно прямой AS
, и точка U
пересечения её диагоналей лежит на прямой AS
.
Проведём через точку U
хорду TT_{1}
, перпендикулярную прямой SA
. Тогда U
— середина отрезка TT_{1}
, а степень точки U
относительно окружности \Gamma
равна
KU\cdot UM=TU\cdot UT_{1}=TU^{2}.
Из симметрии следует, что AU
— биссектриса треугольника KAM
, поэтому (см. задачу 791)
AU^{2}=AK\cdot AM-KU\cdot UM=AK\cdot AN-TU^{2},
откуда
AK\cdot AN=AU^{2}+TU^{2}.
Значит, треугольник AUT
прямоугольный, поэтому AT
— одна из двух касательных к окружности \Gamma
, проходящих через точку A
. Эти касательные не зависят от выбора трапеции KLMN
, следовательно, точка U
также не зависит от этого выбора. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Точка U
— образ точки A
при инверсии относительно окружности \Gamma
.