13730. В остроугольном треугольнике ABC
угол ACB
больше угла ABC
. Точка D
лежит на стороне BC
, причём угол ADB
тупой. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABD
, а точка F
, расположенная внутри треугольника ABC
, лежит на описанной окружности треугольника ABD
. Докажите, что F
— ортоцентр треугольника ABC
тогда и только тогда, когда прямые HD
и CF
параллельны, и точка H
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Необходимость. Пусть F
— ортоцентр треугольника ABC
. Тогда CF\perp AB
, а так как H
— ортоцентр треугольника ABD
, то HD\perp AB
. Следовательно, HD\parallel CF
.
Точки A
, B
, D
и F
лежат на одной окружности, то \angle AFB=\angle ADB
, а так как F
и H
— ортоцентры треугольников ABC
и ABD
соответственно, то
\angle AFB+\angle ACB=180^{\circ}~\mbox{и}~\angle ADB+\angle AHB=180^{\circ}.
Учитывая равенство углов AFB
и ADB
получаем, что \angle ACB=\angle AHB
. Следовательно, точки A
, B
, C
и H
лежат на одной окружности, т. е. точка H
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть HD\parallel CF
и точки A
, B
, C
и H
лежат на одной окружности и точки A
, B
, D
и F
лежат на одной окружности. Тогда
\angle ACB=\angle AHB~\mbox{и}~\angle AFB=\angle ADB,
а так как H
— ортоцентр треугольника ABD
, то
\angle ADB+\angle AHB=180^{\circ}.
Значит,
\angle AFB+\angle ACB=180^{\circ}.
Пусть G
— точка, симметричная точке F
относительно прямой AB
. Тогда
\angle AGB=\angle AFB~\mbox{и}~\angle ABG=\angle ABF,
значит,
\angle AGB+\angle ACB=\angle AFB+\angle ACB=180^{\circ},
и точки A
, G
, B
и C
лежат на одной окружности — на описанной окружности треугольника ABC
.
Поскольку CF\parallel HD
и HD\perp AB
, то CF\perp AB
, а так как FG\perp AB
, то точки C
, F
и G
лежат на одной прямой — на прямой, содержащей высоту треугольника ABC
. Следовательно, точка F
, симметричная G
относительно прямой AB
и лежащая на высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины C
, — ортоцентр треугольника ABC
(см. задачу 4785). Достаточность доказана.