13730. В остроугольном треугольнике
ABC
угол
ACB
больше угла
ABC
. Точка
D
лежит на стороне
BC
, причём угол
ADB
тупой. Пусть
H
— ортоцентр треугольника
ABD
, а точка
F
, расположенная внутри треугольника
ABC
, лежит на описанной окружности треугольника
ABD
. Докажите, что
F
— ортоцентр треугольника
ABC
тогда и только тогда, когда прямые
HD
и
CF
параллельны, и точка
H
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
.
Решение. Необходимость. Пусть
F
— ортоцентр треугольника
ABC
. Тогда
CF\perp AB
, а так как
H
— ортоцентр треугольника
ABD
, то
HD\perp AB
. Следовательно,
HD\parallel CF
.
Точки
A
,
B
,
D
и
F
лежат на одной окружности, то
\angle AFB=\angle ADB
, а так как
F
и
H
— ортоцентры треугольников
ABC
и
ABD
соответственно, то
\angle AFB+\angle ACB=180^{\circ}~\mbox{и}~\angle ADB+\angle AHB=180^{\circ}.

Учитывая равенство углов
AFB
и
ADB
получаем, что
\angle ACB=\angle AHB
. Следовательно, точки
A
,
B
,
C
и
H
лежат на одной окружности, т. е. точка
H
лежит на описанной окружности треугольника
ABC
.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть
HD\parallel CF
и точки
A
,
B
,
C
и
H
лежат на одной окружности и точки
A
,
B
,
D
и
F
лежат на одной окружности. Тогда
\angle ACB=\angle AHB~\mbox{и}~\angle AFB=\angle ADB,

а так как
H
— ортоцентр треугольника
ABD
, то
\angle ADB+\angle AHB=180^{\circ}.

Значит,
\angle AFB+\angle ACB=180^{\circ}.

Пусть
G
— точка, симметричная точке
F
относительно прямой
AB
. Тогда
\angle AGB=\angle AFB~\mbox{и}~\angle ABG=\angle ABF,

значит,
\angle AGB+\angle ACB=\angle AFB+\angle ACB=180^{\circ},

и точки
A
,
G
,
B
и
C
лежат на одной окружности — на описанной окружности треугольника
ABC
.
Поскольку
CF\parallel HD
и
HD\perp AB
, то
CF\perp AB
, а так как
FG\perp AB
, то точки
C
,
F
и
G
лежат на одной прямой — на прямой, содержащей высоту треугольника
ABC
. Следовательно, точка
F
, симметричная
G
относительно прямой
AB
и лежащая на высоте треугольника
ABC
, проведённой из вершины
C
, — ортоцентр треугольника
ABC
(см. задачу 4785). Достаточность доказана.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 3, задача 1, с. 163
Источник: Китайские математические олимпиады. — 1999