13740. Сторона AC
треугольника ABC
вдвое больше стороны AB
. Касательные к описанной окружности, проведённые в точках A
и C
, пересекаются в точке P
. Докажите, что прямая BP
проходит через середину дуги BAC
.
Решение. Пусть прямая BP
пересекает дугу BAC
в точке D
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle CBD=\angle PCD
, поэтому треугольники PBC
и PCD
с общим углом при вершине P
подобны по двум углам. Аналогично, треугольники PAB
и PDA
подобны. Значит,
\frac{PC}{PD}=\frac{BC}{CD},~\frac{AB}{DA}=\frac{PA}{PD},
а так как PA=PC
, то
\frac{AB}{DA}=\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PD}=\frac{BC}{CD}~\Rightarrow~AB\cdot CD=DA\cdot BC.
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
AC\cdot BD=AB\cdot CD+DA\cdot BC=2AB\cdot CD,
а так как AC=2AB
, то
2AB\cdot BD=2AB\cdot CD,
откуда BD=CD
. Равные хорды стягивают равные дуги, следовательно, D
— середина дуги BAC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 5, задача 2853 (2003, с. 316), с. 306