13741. Точки M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
четырёхугольника ABCD
. Докажите, что
AN^{2}+DM^{2}+BC^{2}=BN^{2}+CM^{2}+AD^{2}.
Решение. Поскольку AN
— медиана треугольника ADC
, то (см. задачу 4014)
AN^{2}=\frac{1}{2}(AD^{2}+AC^{2})-\frac{1}{4}CD^{2}
Аналогично,
DM^{2}=\frac{1}{2}(AD^{2}+BD^{2})-\frac{1}{4}AB^{2},
BN^{2}=\frac{1}{2}(BC^{2}+BD^{2})-\frac{1}{4}CD^{2},
CM^{2}=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})-\frac{1}{4}AB^{2}.
Вычитая из суммы первых двух равенств сумму двух последних, получаем
AN^{2}+DM^{2}-BN^{2}-CM^{2}=AD^{2}-BC^{2}.
Следовательно,
AN^{2}+DM^{2}+BC^{2}=BN^{2}+CM^{2}+AD^{2}.
Что и требовалось доказать.