13748. Точки I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
, M
— середина стороны BC
. Докажите, что если IO\perp AM
, то \frac{2}{BC}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника, а r
, R
— радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
. Без ограничения общности считаем, что \angle B\lt\angle C
.
Диагонали четырёхугольника AIMO
перпендикулярны, поэтому
AT^{2}+OM^{2}=IM^{2}+AO^{2}
(см. задачу 1344).
Пусть D
и E
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и BC
соответственно. Тогда AD=p-a
и BE=p-b
(см. задачу 219). Поскольку
AI^{2}=ID^{2}+AD^{2}=r^{2}+(p-a)^{2},~OM^{2}=OB^{2}-\left(\frac{1}{2}BC\right)^{2}=R^{2}-\frac{a^{2}}{4},
IM^{2}=IE^{2}+EM^{2}=r^{2}+\left(\frac{a}{2}-(p-b)\right)^{2}=r^{2}+\frac{(b-c)^{2}}{4},~AO=R^{2},
то
r^{2}+(p-a)^{2}+R^{2}-\frac{a^{2}}{4}=r^{2}+\frac{(b-c)^{2}}{4}+R^{2},
откуда получаем, что
\frac{2}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c},~\mbox{или}~AT^{2}+OM^{2}=IM^{2}+AO^{2}.
Что и требовалось доказать.