13749. Точки H
и O
— соответственно ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Серединный перпендикуляр к отрезку AH
пересекает стороны AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Докажите, что точка A
— центр вневписанной окружности треугольника ODE
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle CAO=\angle BAH=90^{\circ}-\beta
(см. задачу 20), а так как прямая DE
— серединный перпендикуляр к отрезку AH
, то треугольник ADH
равнобедренный, поэтому
\angle AHD=\angle DAH=90^{\circ}-\beta.
Равнобедренные треугольники ADH
и AOC
подобны, поэтому \frac{AD}{AH}=\frac{AO}{AC}
, а так как \angle DAH=\angle DAC
, то подобны треугольники ADO
и AHC
. Следовательно,
\angle AOD=\angle ACH=90^{\circ}-\alpha.
Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, поэтому
\angle OAB=\angle OBA=90^{\circ}-\gamma,
значит, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ODB=\angle AOD+\angle OAB=(90^{\circ}-\alpha)+(90^{\circ}-\gamma)=180^{\circ}-\alpha-\gamma=\beta.
Пусть F
— точка на продолжении отрезка OD
за точку D
. Из параллельности DE
и BC
получаем, что
\angle ADE=\angle ABC=\angle ODB=\angle ADF.
Значит, DA
— биссектриса угла EDF
, т. е. внешнего угла при вершине D
треугольника ODE
. Аналогично, EA
— биссектриса внешнего угла этого треугольника при вершине E
. Следовательно, A
— центр вневписанной окружности треугольника EDF
, касающейся стороны DE
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2004, № 7, задача 2878 (2003, с. 464), с. 441