13750. Точки D
и E
расположены на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
, причём отрезок DE
параллелен стороне BC
и касается вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что
DE\leqslant\frac{1}{8}(AB+BC+CA).
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Пусть вписанная окружность касается сторон BC
, CA
и AB
в точках P
, Q
и R
соответственно.
Из параллельности DE
и BC
получаем, что треугольники ADE
и ABC
подобны. Значит,
\frac{AD+DE+AE}{AB+BC+AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{DE}{a},
а так как
AD+DE+AR=AD+(DR+AE)+EQ=(AD+DR)+(AE+EQ)=
=AR+AQ=b+c-a
(см. задачу 219), то
\frac{b+c-a}{a+b+c}=\frac{DE}{a},
откуда
DE=\frac{a(b+c-a)}{a+b+c}.
Значит,
\frac{1}{8}(AB+BC+AC)-DE=\frac{a+b+c}{8}-\frac{8a(b+c-a)}{a+b+c}=
=\frac{(a+b+c)^{2}-8a(b+c-a)}{8(a+b+c)}=\frac{(b+c)^{2}-6a(b+c)+9a^{2}}{8(a+b+c)}=
=\frac{(b+c-3a)^{2}}{8a+b+c)}\geqslant0.
Следовательно,
DE\leqslant\frac{1}{8}(AB+BC+CA).
Что и требовалось доказать