13753. Из точки P
, лежащей внутри треугольника ABC
, опустили перпендикуляры PD
, PE
и PF
на стороны BC
, AC
и AB
соответственно. Оказалось, что в каждый из четырёхугольников AEPF
, BFPD
и CDPE
можно вписать окружность. Докажите, что P
— центр вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AEP
и AFP
получаем
AP^{2}=AE^{2}+PE^{2}=AF^{2}+PF^{2},
откуда
AF^{2}-PE^{2}=AE^{2}-PF^{2},
или
(AF+PE)(AF-PE)=(AE+PF)(AE-PF),
а так как четырёхугольник AEPF
описанный, то
AF+PE=AE+PF
(см. задачу 310). Значит,
AF-PE=AE-PF
Вычитая второе из двух последних равенств из первого, получим, что PE=PF
. Аналогично, PE=PD
, поэтому PE=PF=PD
. Следовательно, P
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 1, задача 2902 (2004, с. 38, 40), с. 50