13767. Точки K
и L
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
параллелограмма ABCD
, причём BK\cdot AD=DL\cdot AB
. Отрезки DK
и BL
пересекаются в точке P
. Докажите, что \angle DAP=\angle BAC
.
Решение. Пусть прямые AP
и BC
пересекаются в точке X
, а прямые BL
и AD
— в точке Y
. Тогда \frac{BK}{BX}=\frac{YD}{YA}
(см. задачу 1597), а так как треугольник DLY
подобен треугольнику ABY
, то \frac{YD}{YA}=\frac{DL}{AB}
. Значит, \frac{BK}{BX}=\frac{DL}{AB}
, или \frac{BK}{DL}=\frac{BX}{AB}
.
Из равенства BK\cdot AD=DL\cdot AB
получаем пропорцию \frac{BK}{DL}=\frac{AB}{AD}
, поэтому
\frac{BX}{AB}=\frac{BK}{DL}=\frac{AB}{AD}=\frac{DC}{AD},
а так как \angle ABX=\angle ADC
, то треугольник AXB
подобен треугольнику ADC
. Значит,
\angle DAP=\angle DAX=\angle AXB=\angle ACD=\angle BAC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 7, задача 5, с. 448
Источник: Польские математические олимпиады. — 2004