1597. Теорема о пропорциональных отрезках на параллельных прямых. Если через точку, не лежащую ни на одной из двух данных параллельных прямых l
и l_{1}
, проведены прямые, пересекающие l
в точках A
, B
и C
, а l_{1}
— в точках A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, то отрезки AB
и BC
пропорциональны отрезкам A_{1}B_{1}
и B_{1}C_{1}
, т. е. \frac{AB}{BC}=\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}
.
Указание. Рассмотрите две пары подобных треугольников с одним и тем же коэффициентом подобия (или примените гомотетию с центром в точке O
, переводящую точку A
в A_{1}
).
Решение. Пусть O
— точка, не лежащая ни на одной из двух прямых l
и l_{1}
.
Треугольник AOB
подобен треугольнику A_{1}OB_{1}
с коэффициентом \frac{OB}{OB_{1}}
, а треугольник BOC
подобен треугольнику B_{1}OC_{1}
с тем же коэффициентом \frac{OB}{OB_{1}}
. Значит,
\frac{AB}{A_{1}B_{1}}=\frac{OB}{OB_{1}}=\frac{BC}{B_{1}C_{1}}.
Следовательно, \frac{AB}{BC}=\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}
.
Примечание. Верно и обратное: если \frac{AB}{BC}=\frac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}}
, то l\parallel l_{1}
(см. задачу 4146).