4146. Прямые, содержащие стороны AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, пересекаются в точке O
. Прямая, проходящая через точку O
пересекает стороны BC
и AD
в точках M
и N
соответственно, причём BM:MC=AN:NC
. Докажите, что BC\parallel AD
.
Решение. Предположим, что это не так. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть эта прямая пересекает прямые CD
и ON
в точках D_{1}
и N_{1}
соответственно. Тогда AN_{1}:N_{1}D_{1}=BM:MC=AN:ND
(см. задачу 1597), поэтому прямые NN_{1}
и DD_{1}
параллельны, что невозможно, так как они пересекаются в точке O
.
Примечание. Можно считать, что доказана теорема, обратная теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (см. задачу 1597).