13773. Точка Q
лежит внутри треугольника ABC
. Точки M
, N
и P
лежат на сторонах BC
, CA
и AB
соответственно, причём MN\parallel AQ
, NP\parallel BQ
и PM\parallel CQ
. Докажите, что S_{\triangle MNP}\leqslant\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}
.
Решение. Поскольку NP\parallel BQ
, треугольники NPQ
и NPB
равновелики. Значит (см. задачу 3000),
\frac{AN}{AC}=\frac{S_{\triangle ABN}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle APN}+S_{\triangle NPB}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle APN}+S_{\triangle NPQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{APQN}}{S_{\triangle ABC}}.
Аналогично,
\frac{BP}{BA}=\frac{S_{BMQP}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{CM}{CB}=\frac{S_{CNQM}}{S_{\triangle ABC}}.
Тогда
\frac{AN}{AC}+\frac{BP}{BA}+\frac{CM}{CB}=\frac{S_{APQN}+S_{BMPQ}+S_{CNQM}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=1.
Кроме того,
\frac{S_{\triangle NPQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle NPB}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle NPB}\cdot S_{\triangle ABN}}{S_{\triangle ABN}\cdot S_{\triangle ABC}}=\frac{BP}{BA}\cdot\frac{AN}{AC}.
Аналогично,
\frac{S_{\triangle PMQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CM}{CB}\cdot\frac{BP}{BA},~\frac{S_{\triangle MNQ}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{AN}{AC}\cdot\frac{CM}{CB}.
Для любых чисел a
, b
и c
верно неравенство
ab+bc+ca\leqslant\frac{1}{3}(a+b+c)^{2},
поскольку
ab+bc+ca\leqslant\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~3ab+3bc+3ca\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant ab+bc+ca~\Leftrightarrow~2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}\geqslant2ab+2bc+2ca~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}\geqslant0.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
.
Значит,
\frac{S_{\triangle MNP}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle MNQ}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle NPQ}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle PMQ}}{S_{\triangle ABC}}=
=\frac{AN}{AC}\cdot\frac{CM}{CB}+\frac{BP}{BA}\cdot\frac{AN}{AC}+\frac{CM}{CB}\cdot\frac{BP}{BA}\leqslant
\leqslant\frac{1}{3}\left(\frac{AN}{AC}+\frac{BP}{BA}+\frac{CM}{CB}\right)^{2}=\frac{1}{3}.
Следовательно, S_{\triangle MNP}\leqslant\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}
. Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
\frac{AN}{AC}=\frac{BP}{BA}=\frac{CM}{CB}=\frac{1}{3}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2005, № 8, задача 2992 (2004, с. 503, 506), с. 558