13774. Окружности C_{1}
и C_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Прямая r
вторично пересекает C_{1}
и C_{2}
в точках P_{r}
и Q_{r}
соответственно. Докажите, что для всех прямых r
серединные перпендикуляры к отрезкам P_{r}Q_{r}
проходят через одну и ту же точку.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей C_{1}
и C_{2}
соответственно, X
и Y
— середины отрезков O_{1}O_{2}
и P_{r}Q_{r}
соответственно. Поскольку
\angle AO_{1}O_{2}=\frac{1}{2}\angle AO_{1}B=\angle AP_{r}B=\angle AP_{r}Q_{r},
и аналогично,
\angle AO_{2}O_{1}=\angle AQ_{r}P_{r},
то треугольники AO_{1}O_{2}
и AP_{r}Q_{r}
подобны по двум углам. Значит, соответствующие медианы AX
и AY
этих треугольников образуют равные углы с соответствующими отрезками O_{1}X
и PY
, т. е. \angle AXO_{1}=\angle AYP_{r}
. Тогда
\angle AYB=\angle AYP_{r}=\angle AXO_{1}=\frac{1}{2}\angle AXB,
а так как XA=XB
, то X
— центр описанной окружности треугольника AYB
(см. задачу 2900), поэтому XA=XB=XY
.
На продолжении отрезка BX
за точку X
отложим отрезок XM=XB
. Тогда точка M
лежит на описанной окружности треугольника AYB
, а так как BM
— диаметр этой окружности, то \angle BYM=90^{\circ}
. Значит, прямая YM
— серединный перпендикуляр к отрезку P_{r}Q_{r}
. Поскольку точка M
не зависит от прямой r
, отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2006, № 1, задача 3, с. 31
Источник: Испанские математические олимпиады. — 2004