13790. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором BC\lt AC\lt AB
. Точки D
и E
лежат на сторонах AB
и AC
соответственно, причём BD=BC=CE
. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE
равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
. Пусть O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
.
Пусть O_{2}
и O_{3}
— проекции точки O
на стороны AC
и AB
соответственно, I_{2}
и I_{3}
— проекции точки I
на стороны AC
и AB
соответственно, точки D_{1}
и E_{1}
проекции точки O
на прямые II_{2}
и II_{3}
соответственно. Тогда I_{2}
и I_{3}
— точки касания вписанной окружности со сторонами AC
и AB
, а O_{2}
и O_{3}
— середины этих сторон. Значит (см. задачу 219),
OD_{1}=O_{2}I_{2}=AI_{2}-AO_{2}=\frac{b+c-a}{2}-\frac{b}{2}=\frac{c-a}{2}=\frac{1}{2}AD,
OE_{1}=O_{3}I_{3}=AI_{3}-AO_{3}=\frac{b+c-a}{2}-\frac{c}{2}=\frac{b-a}{2}=\frac{1}{2}AE,
а так как \angle D_{1}OE_{1}=\angle DAE
, то треугольник OD_{1}E_{1}
подобен треугольнику ADE
, причём коэффициент подобия равен \frac{OD_{1}}{AD}=\frac{1}{2}
.
Поскольку
\angle OD_{1}I=\angle OE_{1}I=90^{\circ},
отрезок OI
— диаметр описанной окружности треугольника OD_{1}E_{1}
. Следовательно, радиус описанной окружности треугольника ADE
равен OI
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Точки O
, E_{1}
, D_{1}
и I
лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда
\angle OIE_{1}=\angle OD_{1}E_{1}=\angle ADE,
а так как IE_{1}\perp AB
, то OI\perp DE
.