13794. Пусть ABCD
— выпуклый четырёхугольник, а P
, Q
, R
и S
— середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Предположим, что четыре различные прямые, проведённые через точки P
, Q
, R
и S
, пересекаются в точке O
. Докажите, что четыре прямые, проведённые параллельно этим прямым через середины противоположных сторон (через точку P
параллельно OR
и т. д.), тоже пересекаются в одной точке.
Решение. Точки P
, Q
, R
и S
— вершины параллелограмма PQRS
(см. задачу 1204). Пусть его диагонали PQ
и RS
пересекаются в точке M
.
Первый способ. Предположим, что прямая, проведённая через точку P
параллельно OR
, и прямая, проведённая через точку R
параллельно OP
, пересекаются в точке O_{1}
. Противоположные стороны четырёхугольника ORO_{1}P
попарно параллельны, значит, это параллелограмм, причём его диагонали пересекаются в точке M
— середине его диагонали PR
. Следовательно, O_{1}M=OM
. Аналогично, если O_{2}
— точка пересечения прямой, проведённой через точку Q
параллельно OS
, и прямой, проведённой через точку S
параллельно OQ
, то диагонали параллелограмма OSO_{2}Q
тоже пересекаются в точке M
, поэтому O_{2}M=OM
.
Значит, точки O_{1}
и O_{2}
совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. При симметрии относительно точки M
прямая OP
переходит в прямую, проходящую через R
параллельно AP
. Аналогично для прямых OQ
, OR
и OS
. Следовательно, при этой симметрии точка O
пересечения прямых OP
, OQ
, OR
и OS
переходит в точку O_{1}
образов этих прямых. Отсюда следует утверждение задачи.