13797. Пусть h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника, опущенные на его стороны a
, b
и c
соответственно. Докажите, что
\frac{h_{a}^{2}}{b^{2}+c^{2}}\cdot\frac{h_{b}^{2}}{a^{2}+c^{2}}\cdot\frac{h_{c}^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leqslant\left(\frac{3}{8}\right)^{3}.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника, противолежащие сторонам a
, b
и c
соответственно. По теореме синусов \frac{c}{b}=\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}
, а так как
h_{a}=b\sin\gamma~\mbox{и}~\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma\geqslant2\sin\beta\sin\gamma
(см. задачу 3399), то
\frac{h_{a}^{2}}{b^{2}+c^{2}}=\frac{b^{2}\sin^{2}\gamma}{b^{2}+c^{2}}=\frac{\sin^{2}\gamma}{1+\frac{c^{2}}{b^{2}}}=\frac{\sin^{2}\gamma}{1+\frac{\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\beta}}=
=\frac{\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma}\leqslant\frac{\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}{2\sin\beta\sin\gamma}=\frac{1}{2}\sin\beta\sin\gamma.
Аналогично,
\frac{h_{b}^{2}}{a^{2}+c^{2}}=\frac{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\gamma}\leqslant\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\gamma,
\frac{h_{c}^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}\leqslant\frac{1}{2}\sin\alpha\sin\beta.
Перемножив эти три неравенства, получим
\frac{h_{a}^{2}}{b^{2}+c^{2}}\cdot\frac{h_{b}^{2}}{a^{2}+c^{2}}\cdot\frac{h_{c}^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leqslant\frac{1}{8}(\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma)^{2},
а так как
\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{8},
(см. задачу 1415а), то
\frac{1}{8}(\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma)^{2}\leqslant\frac{1}{8}\left(\frac{3\sqrt{3}}{8}\right)^{2}=\left(\frac{3}{8}\right)^{3}.
Следовательно,
\frac{h_{a}^{2}}{b^{2}+c^{2}}\cdot\frac{h_{b}^{2}}{a^{2}+c^{2}}\cdot\frac{h_{c}^{2}}{a^{2}+b^{2}}\leqslant\left(\frac{3}{8}\right)^{3}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 4, задача 3150 (2006, с. 240, 242), с. 255