13799. Точка D
— середина стороны BC
треугольника ABC
; BE
и CF
— высоты треугольника ABC
; P
— точка пересечения AD
и EF
. Известно, что AD=\frac{\sqrt{3}}{2}BC
. Докажите, что P
— середина AD
.
Решение. Лемма. Пусть прямые, проходящие через точку P
, лежащую вне окружности, касаются окружности в точках S
и T
; третья прямая, проходящая через точку P
, пересекает окружность в точках X
и Y
; Z
— точка пересечения ST
и XY
. Тогда
\frac{1}{PX}+\frac{1}{PY}=\frac{2}{PZ}.
Доказательство. Рассмотрим случай остроугольного треугольника ABC
. Пусть M
— середина XY
, O
— центр окружности, а F
— точка пересечения PO
и ST
. Тогда PM=\frac{PX+PY}{2}
, поэтому
\frac{1}{PX}+\frac{1}{PY}=\frac{PX+PY}{PX\cdot PY}=\frac{2PM}{PX\cdot PY}.
Значит, достаточно доказать, что
\frac{2PM}{PX\cdot PY}=\frac{2}{PZ},~\mbox{или}~PM\cdot PZ=PX\cdot PY.
Последнее равенство следует из подобия прямоугольных треугольников PFZ
и PMO
. Лемма доказана.
Перейдём к нашей задаче. Поскольку \angle ABC=\angle AEF
(см. задачу 141), а треугольник BDF
равнобедренный, то \angle AEF=\angle BFD
. Аналогично, \angle AFE=\angle DEC
.
Пусть \Gamma
— описанная окружность треугольника AEF
. Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), DF
— касательная к окружности \Gamma
в точке F
, а DE
— касательная к окружности \Gamma
в точке E
.
Пусть A'
— отличная от A
точка пересечения медианы AD
треугольника с окружностью \Gamma
. Тогда, по лемме
\frac{2}{DP}=\frac{1}{DA'}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}BC}=r\sqrt{3}.
Обозначим DB=DC=DF=r
. Тогда по теореме о касательной и секущей
DA'\cdot DA=DF^{2}=r^{2},
а так как из условия DA=r\sqrt{3}
, то
DA'=\frac{r^{2}}{DA}=\frac{r^{2}}{DA},
поэтому
\frac{2}{DP}=\frac{\sqrt{3}}{r}+\frac{1}{r\sqrt{3}},
откуда
DP=\frac{r\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}DA.
Следовательно, P
— середина медианы AD
. Что и требовалось доказать.
Примечание. В случае, когда угол при вершине B
или C
тупой, изложенное доказательство проходит с некоторыми несущественными изменениями. Если же тупой угол при вершине A
, то отрезки AD
и EF
не пересекаются.