13803. Дан треугольник ABC
. Точки B'
и C'
— проекции основания A'
биссектрисы AA'
на стороны AC
и AB
соответственно. Докажите, что прямые BB'
и CC'
пересекаются на высоте треугольника ABC
, проведённой из вершины A
.
Решение. Из равенства прямоугольных треугольников AC'A'
и AB'A'
получаем, что AC'=AB'
, поэтому \frac{AC'}{B'A}=1
.
Пусть AD
— высота треугольника ABC
. Из подобия прямоугольных треугольников C'BA'
и AB'A'
получаем, что \frac{BD}{C'B}=\frac{AB}{BA'}
, а из подобия прямоугольных треугольников A'B'C
и ADC
— \frac{CB'}{DC}=\frac{A'C}{AC}
.
Перемножив эти три равенства и применив свойство биссектрисы треугольника (см. задачу 1509), получим
\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CB'}{B'A}=\frac{AC'}{B'A}\cdot\frac{BD}{C'B}\cdot\frac{CB'}{DC}=1\cdot\frac{AB}{BA'}\cdot\frac{A'C}{AC}=
=\frac{AB}{AC}\cdot\frac{A'C}{BA'}=\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{A'C}{BA'}=1.
Следовательно, по теореме Чевы прямые BB'
, CC'
и AD
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.