13809. Продолжение биссектрисы AD
треугольника ABC
пересекает описанную окружность треугольника в точке D
. Пусть F
— такая точка на окружности с диаметром AE
, а что DF\perp AE
. Докажите, что FE=EC
.
Решение. Точка F
лежит на окружности с диаметром AE
, поэтому \angle AFE=90^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника AFE
получаем (см. задачу 2728), что FE^{2}=AE\cdot DE
.
С другой стороны, поскольку
\angle DCE=\angle BCE=\angle BAE=\angle CAE,
треугольники DCE
и CAE
с общим углом при вершине E
подобны по двум углам. Значит,
\frac{CE}{AE}=\frac{DE}{CE}~\Rightarrow~CE^{2}=AE\cdot DE=FE^{2}.
Следовательно, FE=EC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2007, № 8, задача 3191 (2006, с. 515, 517), с. 493