13811. Три точки разбивают окружность на три дуги. С центрами в середине каждой дуги проводятся окружности, проходящие через концы этой дуги. Докажите, что такие три окружности проходят через одну точку
Решение. Пусть
A
,
B
и
C
— данные точки на окружности, а
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
— середины дуг, не содержащих точки
A
,
B
и
C
соответственно. Тогда
AA_{1}
,
BB_{1}
и
CC_{1}
— биссектрисы углов при вершинах треугольника
ABC
(см. задачу 430). Пусть
I
— точка пересечения этих биссектрис. Тогда (см. задачу 788)
A_{1}B=A_{1}I=A_{1}C,

поэтому окружность с центром
A_{1}
и радиусом
A_{1}B=A_{1}C
проходит через точку
I
. Аналогично, для двух других окружностей из условия задачи. Следовательно, все три окружности проходят через одну точку — точку
I
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 1, задача 3, с. 29
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2003-2004