1382. Докажите, что биссектрисы внешних углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагональ которого равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109).
Решение. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке P
, биссектрисы внешних углов при вершинах C
и D
— в точке Q
, внешних углов при вершинах A
и D
— в точке R
, внешних углов при вершинах A
и B
— в точке S
.
Поскольку биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны, то PQRS
— прямоугольник.
Пусть M
— середина BC
. Тогда PM
— медиана прямоугольного треугольника BPC
, поэтому PM=MC
(см. задачу 1109). Значит,
\angle MPC=\angle PCM=\angle PCK,
где K
— точка на продолжении стороны DC
за точку C
. Следовательно, PM\parallel CD
. Аналогично докажем, что если N
— середина AD
, то RN=ND
и RN\parallel CD
. Кроме того, MN\parallel CD
и MN=CD
. Следовательно, точки M
и N
лежат на диагонали PR
прямоугольника PQRS
и
PR=PM+MN+NR=MC+CD+ND=BC+CD.
Источник: Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 1971. — № 617, с. 68