13821. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Серединный перпендикуляр к стороне AC
пересекает сторону AB
в точке P
, а прямую BC
— в точке Q
. Докажите, что \angle PQB=\angle PBO
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения серединного перпендикуляра к стороне AC
с описанной окружностью треугольника ABC
, лежащая с точкой B
по одну сторону от прямой AC
, M
— точка, диаметрально противоположная K
, а \smile BK
, \smile AK
и \smile CM
— угловые величины меньших дуг BK
, AK
и CM
соответственно.
Первый способ. Из симметрии \smile AK=\smile CK
. Из равнобедренного треугольника BOC
получаем
\angle PBO=\angle ABO=\frac{180^{\circ}-\angle BOA}{2}=\frac{180^{\circ}-\smile BKA}{2}=
=\frac{180^{\circ}-(\smile BK+\smile AK)}{2}=\frac{180^{\circ}-(\smile BK+\smile CBK)}{2}=
=\frac{\smile KCM-(\smile BK+\smile CBK)}{2}=\frac{(\smile KCM-\smile CBK)-\smile BK)}{2}=
=\frac{\smile CM-\smile BK}{2}=\angle CQM=\angle PQB
(см. задачу 27). Что и требовалось доказать.
Первый способ. Пусть B'
— точка, диаметрально противоположная точке B
. Тогда
\angle PBO=\angle ABB'=\frac{1}{2}\smile AB'=\frac{\smile AM-\smile MB'}{2}=
=\frac{\smile CM-\smile BK}{2}=\angle MQC=\angle PQB.
Что и требовалось доказать.