13826. Окружности с центрами K
и L
пересекаются в точках A
и B
. Касательная в точке A
к окружности с центром L
пересекает отрезок BK
в точке M
, а касательная в точке A
к окружности с центром K
пересекает отрезок BL
в точке N
. Докажите, что AB\perp MN
.
Решение. Из теореме об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle MAB=\frac{1}{2}\angle ALB=\angle KLB.
Аналогично, \angle BAN=\angle LKB
. Значит,
\angle MAN+\angle MBN=(\angle MAB+\angle BAN)+\angle MBN=
=\angle KLB+\angle LKB+\angle MBN=180^{\circ}.
Следовательно, точки A
, M
, B
и N
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы MNB
и MAB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MNB=\angle MAB=\angle KLB.
Значит, MN\parallel KL
, а так как AB\perp KL
(см. задачу 1130), то AB\perp MN
. Что и требовалось доказать.