13828. Пусть h
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, а c
— гипотенуза. Докажите, что \frac{c}{h}+\frac{h}{c}\geqslant\frac{5}{2}
.
Решение. Первый способ. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), т. е. \frac{c}{2}
. Значит,
h\leqslant\frac{c}{2}~\Leftrightarrow~2h\lt c~\Leftrightarrow~h\leqslant c-h.
В то же время,
2h\leqslant c~\Leftrightarrow~-2h\geqslant-c,
поэтому
2(c-h)=2c-2h\geqslant2c-c=c.
Перемножив неравенства h\leqslant c-h
и c\leqslant2(c-h)
, получим
ch\leqslant2(c-h)^{2}~\Leftrightarrow~2c^{2}+2h^{2}\geqslant5ch~\Leftrightarrow~\frac{c}{h}+\frac{h}{c}\geqslant\frac{5}{2}.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда c=2h
, т. е. треугольник равнобедренный.
Второй способ. Пусть угол между высотой h
и медианой m=\frac{c}{2}
, проведёнными из вершины прямого угла, равен \varphi
. Тогда
\cos\varphi=\frac{h}{m}=\frac{h}{\frac{c}{2}}=\frac{2h}{c}~\Rightarrow~\frac{h}{c}=\frac{\cos\varphi}{2}.
Тогда
\frac{c}{h}+\frac{h}{c}=\frac{\cos\varphi}{2}+\frac{2}{\cos\varphi}.
Следовательно,
\frac{c}{h}+\frac{h}{c}\geqslant\frac{5}{2}~\Leftrightarrow~\frac{\cos\varphi}{2}+\frac{2}{\cos\varphi}\geqslant\frac{5}{2}~\Leftrightarrow~\cos^{2}\varphi-5\cos\varphi+4\geqslant0~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(\cos\varphi-1)(\cos\varphi-4)\geqslant0.
Последнее неравенство верно для всех \varphi
из промежутка [0^{\circ};90^{\circ}]
. Отсюда следует утверждение задачи.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда \cos\varphi=1
, т. е. \varphi=0^{\circ}
. В этом случае треугольник равнобедренный.