13836. Точка D
лежит внутри треугольника ABC
, причём \angle DAB=\angle DCA
и \angle DBA=\angle DAC
. Точки E
и F
лежат на лучах AB
и CA
, причём AB=BE
и CA=AF
. Докажите, что точки A
, D
, E
и F
лежат на одной окружности.
Решение. Треугольники ADC
и BDA
подобны по двум углам, поэтому
\frac{CD}{AD}=\frac{CA}{AB}=\frac{2CA}{2AB}=\frac{CF}{AE}~\Rightarrow~\frac{CD}{CF}=\frac{AD}{AE},
а так как
\angle DCF=\angle DCA=\angle DAB=\angle DAE,
то треугольники DCF
и DAE
подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
\angle AFD=\angle CFD=\angle AED.
Следовательно (см. задачу 12), точки A
, D
, E
и F
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2008, № 8, задача 3289 (2007, с. 485, 487), с. 490