13842. Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на стороне BC
треугольника ABC
, точки B_{2}
и C_{2}
— на сторонах AB
и AC
соответственно. При этом B_{1}B_{2}\parallel AC
и C_{1}C_{2}\parallel AB
. Прямые B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
пересекаются в точке D
. Обозначим площади треугольников BB_{1}B_{2}
и CC_{1}C_{2}
через S_{b}
и S_{c}
соответственно.
а) Докажите, что если S_{b}=S_{c}
, то точка пересечения медиан треугольника ABC
лежит на прямой AD
.
б) Найдите отношение S_{b}:S_{c}
, если D
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а AB=4
, BC=5
и AC=6
.
Ответ. б) \frac{81}{121}
.
Решение. а) Пусть площадь треугольника ABC
равна S
. Тогда из подобия получаем
\frac{S_{b}}{S}=\left(\frac{BB_{1}}{BC}\right)^{2}~\mbox{и}~\frac{S_{c}}{S}=\left(\frac{CC_{1}}{BC}\right)^{2},
а так как S_{b}=S_{c}
, то BB_{1}=CC_{1}
(и BC_{1}CB_{1}
). По теореме Менелая для треугольника ABM
и прямой B_{1}B_{2}
получаем
\frac{MB_{1}}{B_{1}B}\cdot\frac{BB_{2}}{B_{2}A}\cdot\frac{AD}{DM}=1.
По теореме Менелая для треугольника ACM
и прямой C_{1}C_{2}
получаем
\frac{MC_{1}}{C_{1}C}\cdot\frac{CC_{2}}{C_{2}A}\cdot\frac{AD}{DM}=1.
Поскольку BB_{1}=CC_{1}
, из этих двух равенств получаем, что
\frac{MB_{1}}{B_{1}B}\cdot\frac{BB_{2}}{B_{2}A}=\frac{MC_{1}}{C_{1}C}\cdot\frac{CC_{2}}{C_{2}A},~\mbox{или}~B_{1}M\cdot\frac{B_{2}B}{B_{2}A}=C_{1}M\cdot\frac{C_{2}C}{C_{2}A},
а так как
\frac{B_{2}B}{B_{2}A}=\frac{B_{1}B}{B_{1}C}=\frac{C_{2}C}{C_{1}B}=\frac{C_{2}C}{C_{2}A},
то B_{1}M=C_{1}M
. Значит, M
— середина стороны BC
. Следовательно, точка пересечения медиан треугольника ABC
лежит на прямой AD
. Что и требовалось доказать.
б) Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника ABC
, проведённые из вершин B
и C
соответственно.
Треугольники BB_{1}B_{2}
и C_{1}CC_{2}
подобны, поэтому
\frac{S_{b}}{S_{c}}=\left(\frac{BB_{1}}{CC_{1}}\right)^{2}=\left(\frac{BB_{1}}{BC}\right)^{2}\cdot\left(\frac{BC}{CC_{1}}\right)^{2}=\left(\frac{h_{b}-r}{h_{b}}\cdot\frac{h_{c}}{h_{c}-r}\right)^{2},
а так как
h_{b}=\frac{2S}{b},~h_{c}=\frac{2S}{c}~\mbox{и}~r=\frac{2S}{a+b+c}
(см. задачу 452), то
\frac{S_{b}}{S_{c}}=\left(\frac{\frac{2S}{b}-\frac{2S}{a+b+c}}{\frac{2S}{b}}\cdot\frac{\frac{2S}{c}}{\frac{2S}{c}-\frac{2S}{a+b+c}}\right)^{2}=\left(\frac{a+c}{a+b+c}\cdot\frac{a+b+c}{a+b}\right)^{2}=
=\left(\frac{a+c}{a+b}\right)^{2}=\left(\frac{5+4}{5+6}\right)^{2}=\frac{81}{121}.