13847. Точка C
лежит на окружности с центром O
. Хорда AB
, равная радиусу окружности, параллельна OC
. Касательная к окружности в точке C
пересекается с прямой AO
в точке F
. Прямая AF
вторично пересекает окружность в точке E
. Хорда BE
пересекает радиус OC
в точке L
, а прямая AL
пересекает касательную CF
в точке M
. Найдите отношение CF:CM
.
Ответ. 4:1
.
Решение. Пусть касательная в точке C
пересекает прямую AB
в точке D
. Точка B
лежит на окружности с диаметром AE
, поэтому BE\perp AB
, а так как AD\parallel OC
, то AD\perp DF
. Значит, BDCL
— прямоугольник, и DC=BL
.
Прямоугольные треугольники OCF
и ABE
равны по катету (OC=AB
) и прилежащему острому углу, поэтому CF=BE
. По теореме Фалеса точка L
— середина отрезка BE
, значит, M
— середина отрезка DF
(см. задачу 2607).
Обозначим BL=LE=a
. Тогда
DC=BL=a,~CF=BE=2a,
а так как
DF=DC+CF=DC+BE=a+2a=3a,
то
CM=CF-MF=CF-\frac{1}{2}DF=2a-\frac{3}{2}a=\frac{1}{2}a.
Следовательно,
\frac{CF}{CM}=\frac{2a}{\frac{1}{2}a}=4.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 3, задача M351, с. 137