13848. Точка E
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся продолжений сторон AB
и AC
в точках F
и G
соответственно. Прямые BE
и CE
пересекают отрезок FG
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно, а BB'
и CC'
— высоты треугольника ABC
. Докажите, что B_{1}C_{1}B'C'
— вписанный четырёхугольник.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Поскольку EB
и EC
— биссектрисы внешних углов треугольника ABC
, то
\angle B_{1}EC=\angle BEC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), а так как AGF
— угол при основании равнобедренного треугольника FAG
, то
\angle CGB_{1}=\angle AGF=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle B_{1}EC.
Значит, точки C
, G
, E
и B_{1}
лежат на одной окружности (см. задачу 12), а так как \angle CGE=90^{\circ}
, то CE
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle CB_{1}E=90^{\circ}
. Аналогично, \angle BC_{1}E=90^{\circ}
.
Из точек B_{1}
, C_{1}
, B'
и C'
отрезок BC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Следовательно, B_{1}C_{1}B'C'
— вписанный четырёхугольник. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 4, задача 4343, с. 211