13849. Точка D
— середина стороны BC
треугольника ABC
, а точка M
лежит на стороне BC
, причём \angle BAM=\angle DAC
. Пусть L
— отличная от A
точка пересечения описанной окружности треугольника AMC
со стороной AB
, а K
— отличная от A
точка пересечения описанной окружности треугольника AMB
со стороной AC
. Докажите, что KL\parallel BC
.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
, \angle BAM=\angle CAD=\alpha_{1}
\angle BAD=\angle CAM=\alpha_{2}
.
По теореме синусов из треугольников ABM
и CAM
получаем
AM=\frac{BM\sin\beta}{\sin\alpha_{1}}=\frac{CM\sin\gamma}{\sin\alpha_{2}},
откуда
BM\sin\beta\sin\alpha_{2}=CM\sin\gamma\sin\alpha_{1}.
Аналогично, применив теорему синусов к треугольникам BAD
и CAD
, получаем
BD\sin\beta\sin\alpha_{1}=CD\sin\gamma\sin\alpha_{2}.
Учитывая, что BD=CD
, перемножив эти равенства, получим
BM\sin^{2}\beta=CM\sin^{2}\gamma~\Rightarrow~\frac{BM}{CM}=\frac{\sin^{2}\gamma}{\sin^{2}\beta}=\frac{c^{2}}{b^{2}}.
По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636)
CK\cdot CA=CM\cdot CB~\mbox{и}~BL\cdot BA=BM\cdot BC,
или
\frac{BL}{a}=\frac{BM}{c}~\mbox{и}~\frac{CK}{a}=\frac{CM}{b},
откуда
\frac{BL}{CK}=\frac{b}{c}\cdot\frac{BM}{CM}=\frac{b}{c}\cdot\frac{BM}{CM}=\frac{b}{c}\cdot\frac{c^{2}}{b^{2}}=\frac{c}{b}=\frac{AB}{AC}.
Следовательно, KL\parallel BC
. Что и требовалось доказать.