13850. Пусть AD=h_{a}
, BE=h_{b}
и CF=h_{c}
— высоты треугольника ABC
. На сторонах треугольника вне его построены прямоугольники ABB_{1}A_{2}
, BCC_{1}B_{2}
и CAA_{1}C_{2}
. При этом \frac{CC_{1}}{h_{a}}=\frac{AA_{1}}{h_{b}}=\frac{BB_{1}}{h_{c}}
. Точки X
, Y
и Z
— середины отрезков A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
соответственно. Докажите, что прямые AX
, BY
и CZ
пересекаются в одной точке.
Решение. Докажем, что прямые AX
, BY
и CZ
пересекаются в центре O
описанной окружности треугольника ABC
.
Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
.
Из равнобедренного треугольника AOC
получаем
\angle OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOC)=90^{\circ}-\beta.
Достроим треугольник ECF
до параллелограмма KFCE
. Из параллельности KF
и CE
следует, что EK\perp AB
, поэтому
\angle FKE=\angle KEA=90^{\circ}-\alpha.
Из параллельности KE
и CH
следует, что
\angle KEB=\angle EHC=\angle BAC=\alpha.
Поскольку
\tg\alpha=\frac{BE}{AE}=\frac{h_{b}}{AE}=\frac{h_{c}}{AF},
то
\frac{BE}{KE}=\frac{BE}{CF}=\frac{h_{b}}{h_{c}}=\frac{AE}{AF},
а так как
\angle KEB=\alpha=\angle FAE,
то треугольники BEK
и EAF
(и BAC
) подобны. Значит,
\angle BKE=\angle AFE=\angle ACB=\gamma.
Четырёхугольник BCEF
вписанный, поэтому
\angle BKF=\angle BKE-\angle FKE=\gamma-(90^{\circ}-\alpha)=(\alpha+\gamma)-90^{\circ}=
=(180^{\circ}-\beta)-90^{\circ}=90^{\circ}-\beta=\angle OAC.
Следовательно, BK\parallel OA
.
Из равенства (см. задачу 4500)
\overrightarrow{AX}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AA_{2}})=\frac{1}{2}(k\overrightarrow{BE}+k\overrightarrow{CF})=
=\frac{k}{2}(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF})=\frac{k}{2}(\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EK})=\frac{k}{2}\overrightarrow{BK}
получаем, что AX\parallel BK\parallel OA
. Значит, точки O
, A
и X
лежат на одной прямой. Аналогично, точки O
, B
и Y
лежат на одной прямой, а также точки O
, C
и Z
лежат на одной прямой. Следовательно, прямые AX
, BY
и CZ
пересекаются в точке O
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 4, задача 4337, с. 203