13851. Даны окружность с центром O
и точка A
вне её. Пусть M
— произвольная точка этой окружности, а N
— точка, диаметрально противоположная M
. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMN
.
Ответ. Прямая, перпендикулярная OA
.
Решение. Обозначим через r
радиус данной окружности. Пусть U
— центр описанной окружности треугольника AMN
. Тогда UO\perp MN
. По теореме Пифагора
UM^{2}=UO^{2}+OM^{2}=UO^{2}+r^{2},
а так как UM=UA
, то
UA^{2}-UA^{2}=r^{2}.
Значит (см. задачу 2445), точка U
лежит на прямой l
, перпендикулярной AO
. В частности, если M_{0}N_{0}
— диаметр данной окружности, перпендикулярный AO
, а U_{0}
— центр описанной окружности треугольника AM_{0}N_{0}
, то прямая l
проходит через фиксированную точку U_{0}
прямой AO
(отличную от O
).
Пусть теперь U
— произвольная точка прямой l
, а MN
— диаметр данной окружности, перпендикулярный UO
. Тогда по построению прямой l
верно равенство
UA^{2}-UO^{2}=r^{2},
поэтому
UA^{2}=UO^{2}+r^{2}=UM^{2}=UN^{2}.
Следовательно, точка U
— центр окружности, проходящей через точки A
, M
и N
. (Эти точки не лежат на одной прямой, так как точка U_{0}
пересечения прямых l
и AO
не совпадает с O
.)
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2009, № 4, задача 2, с. 219
Источник: Иберо-американская математическая олимпиада. —