13864. Средняя по величине сторона BC
треугольника ABC
равна полусумме двух других сторон. Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны r
и R
соответственно. Докажите, что:
а) \angle BAC\leqslant60^{\circ}
;
б) высота, проведённая из вершины A
втрое больше r
;
в) расстояние от центра описанной окружности треугольника ABC
до стороны BC
равно R-r
.
Решение. а) См. задачу 11987.
б) См. задачу 6100(а).
в) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. По условию b+c=2a
.
Пусть d
— искомое расстояние от центра O
описанной окружности треугольника ABC
до прямой BC
. Поскольку угол BAC
острый, \angle BOC=2\alpha
, поэтому
d=OB\cos\alpha=R\cos\alpha.
Тогда требуется доказать, что
R\cos\alpha=R-r,~\mbox{или}~r=R-R\cos\alpha=R(1-\cos\alpha)=2R\sin^{2}\frac{\alpha}{2}.
По условию
b+c=2a~\mbox{или}~2R\sin\beta+2R\sin\gamma=4R\sin\alpha,
поэтому
2\sin\alpha=\sin\beta+\sin\gamma~\Leftrightarrow~4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~4\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}.
Значит,
2\sin\frac{\alpha}{2}=\cos\frac{\beta-\gamma}{2}.
Применив формулу
r=4R\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 3225(а)), получим
r=2R\sin\frac{\alpha}{2}\left(2\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}\right)=2R\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\right)=
=2R\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=2R\sin\frac{\alpha}{2}\left(2\sin\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)=2R^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}.
Что и требовалось доказать.